Senin, 29 April 2013

HIMPUNAN



HIMPUNAN
 Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman. Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan, na-mun th 1920-an menjadi landasan matematika. Kata lain dari himpunan yaitu: set, gugus, kelompok, kumpulan.
A.      Pengertian Himpunan
Himpunan adalah  kumpulan objek-objek (abstrak atau kon-kret) yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya harus jelas. Didefinisikan dengan jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan anggota himpunan itu.
 Contoh himpunan:
·         Kumpulan hewan-hewan berkaki empat
·         Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8
·         Kumpulan mahasiswa Universitas Muhammadiyah Jember
Contoh bukan Himpunan
·         Kumpulan bunga bunga yang indah
·         Kumpulan lukisan yang indah
·         Kumpulan nama nama mahasiswi yang cantik

B.      Notasi Himpunan
1)      Nama himpunan ditulis sebagai huruf capital
Contoh:A,H,D,B
2)      Notasi himpunan ditulis sebagai kurung kurawal {}
Contoh: A={1,2,3,4,5}
3)       Objek yang dibicarakan dalam himpunan, seperti: 1,2,3,4,5 disebut anggota (elemen, unsur) dan ditulis di dalam kurung kurawal tersebut.
C.      Keanggotaan Himpunan
*      Anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil dan dipisahkan dengan koma
*      Anggota himpunan yang sama ditulis sekali
Contoh:
A={1,1,3,3,5}                                maka di tulis       A={1,3,5}
B={M,A,T,E,M,A,T,I,K,A}         maka di tulis       B={M,A,T,E,I,K,}
*      Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi  ” jika suatu objek  X  bukan suatu anggota suatu himpunan tertentu maka dinyatakan oleh notasi “ 
Contoh:
A={0,1,2,}
Maka  0 A 1 A 2 A


D. Menyatakan Himpunan
a)      Menggunakan symbol standar (baku)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu symbol standart (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiyah)
Contoh:
N=himpunan bilangan alami (natural)
Z= himpunan bilangan bulat
Q= himpunan bilangan rasional
R= himpunan bilangan riil
C= himpunan bilangan kompleks
b)     Cara tabulasi (rooster method, pendaftaran), yaitu dengan menuliskan anggotanya satu per satu di dalam kurung kurawal, seperti
contoh berikut.
A : {merah, kuning, hijau}
H : {ayam, itik, bebek, angsa}
Anggota-anggota yang sama dianggap sebagai satu anggota.
{6, 4, 7, 9, 6, 9, 2} = {2, 4, 6, 7, 9}
Himpunan B : {p, c, a, m, p, m, h} memiliki 5 anggota.

c)       Dengan menyebut sifat atau syarat keanggotaan himpunan aturan dalam Cara deskriptif (rule method, cara aturan/metode pembentukan himpunan), yaitu dengan me-nuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannya, penulisan syarat keanggotaan himpunan
Ø  Bagian kiri tanda "|” melambangkan elemen himpunan
Ø  Tanda”|” dibaca sebagai dimana atau sedemikan sehingga
Ø  Bagian kanan tanda “|” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
Ø  Setiap tanda “,” dibaca sebagai dan
Contoh:
B={x|x5,xZ}
(B adalah himpunan dimana anggotanya lebih kecil dari 5 dan merupakan anggota himpunan bilangan bulat)
 seperti contoh berikut.
M : {x|3  x  16, x bilangan genap}
H : {x |x nama-nama hewan berkaki dua}
P : {x|x bilangan prima kurang dari 15}.


E.       Macam macam Himpunan
1.       Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, padahal definisi himpunan mensyaratkan adanya objek(anggota). namun demikian,himpunan kosong tetap disertakan dalam pembahasan himpunan.
Suatu himpunan H disebut himpunan kosong jika n(H)=0. Notasi untuk himpunan kosong ø atau {}.
Jika ditilik lebih lanjut eksitensi himpunan kosong sebenarnya merupakan konsekuensi logika yang digunakan dalam matematika.
Himpunan kosong memiliki sifat-sifat yang istimewayang ada karena konsekuensi logika sifat istimewa tersebut adalah sebagai berikut:
1.       Himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan.
2.       Berkaitan dengan sifat kelengkapan himpunan bilangan real,batas atas himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Demikian pula dengan batas bawahnya.
3.       Dalam topologi, himpunan kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup
4.       Contoh himpunan kosong:
a.       Himpunan nama-nama hewan berkaki tiga
b.      Himpunan bilangan asli kurang dari satu
c.       Himpunan bilangan prima genap antara 10 dan 20
2.       Himpunan bagian
Jika ada Himpunan A dan B dimana setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A B
jadi A B jika dan hanya jika x ⇒ A ˂  x ˂ B
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan himpunan dari B, dilambangkan dengan A⊆ B
Contoh:
A = {1,3,5} dan B = {1,2,3,4,5,6,} maka A⊆B
3.       Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S
Contoh:
Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut.
{2,3,5,7}
maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah S = {bilangan prima} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah}
4.       Himpunan terhingga dan himpunan takhingga
Ø  Himpunan H disebut himpunan terhingga (finitif set) jika n(H) = c, c bilangan cacah.
contoh himpunan terhingga
G : himpunan nama-nama hari dalam seminggu
N : {7,8,9,10,....,2015}
Ø  Himpunan D disebut himpunan tak hingga (infinite set, transfinite set) jika n(D) = ~.
Berikut adalah contoh himpunan takhingga.
F : {2,3,4,5,....}
M : {x|2 x ˂ 4, x bilangan real}
5.       Himpunan terbilang dan himpunan takterbilang
Himpunan terbilang yaitu himpunan dengan anggota yang dapat ditunjukkan satu persatu, seperti berikut
P     =             {4,5,6,.....}
Q     =             {r,s,t,v,w,k,d,a}
R     =             {1,2,3,.....,138}
Himpunan tak terbilang yaitu himpunan yang anggotanya tidak dapat ditunjukkan  satu persatu, seperti berikut
D    =             {x|0< x 7, x bilangan rasional}
F    =             {x|x ≤ 4, x bilangan real positif}
khusus untuk bilangan real, himpunan takhingga (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau selang, seperti berikut
v  {x| 2 < x 7} =             (2,7]
v  {x|2 x < 7}  =             [2,7)
v  {x| 2 < x < 7} =             (2,7)
v  {x| 2 x 7} =             [2,7]
6.       Himpunan terbatas dan himpunan takterbatas
Himpunan terbatas yaitu himpunan yang mempunyai batas, seperti contoh berikut:
K     =             {4,1,3,8,6}
L      =             {0 < x 7, x bilangan asli}
B     =             {0 < x 7, x bilangan bulat}
himpunan terbatas biasanya. Batas sebelah kiri disebbut batas bawah, dan batas sebelah kanan disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi anggota himpunan. Pada himpunan terhingga yang ditulis secaratabulasi, anggota terkecil menjadi batas bawah, dan anggota terbesar menjadi batas atas.
Himpunan tak terbatas (unbounded set) yaitu himpunan yang tidak mempunyai batas disebelah kiri maupun kanan
Contoh:
R     =             { -~ < x +~, x bilangan real }
  1. Operasi Himpunan
Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.
1.     Operasi Gabungan (Union)
Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A  atau anggota B  atau anggota keduanya,berikut dalah gambar gabungan
didefinisikan sebagai berikut :
A È B = { x | x Î A V x Î B }
Contoh        :
                       A = { 1,3,5,7,9 } , dan B = { 2,4,6,8,10 }
    Maka
    A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }




2.     Operasi Irisan (Intersection)
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A  dan  B, berikut gambar suatu irisan
dapat  didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x| x   ϵ A  ʌ  x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)
       Contoh :
·      Jika A = { p,q,r,s } dan B{ r,s,t},
 Maka
 A ∩B = {r,s}

                               


3.     Operasi Selisih
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A  yang bukan merupakan anggota himpunan  B. Jadi A – B berbeda dengan B – A..berikut adalag gambar selisih
Dapat  didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }
Contoh :
Jika A = { a, b, c, d, e, f },dan B = { e, f, g , h }, maka A – B = { a, b, c, d }
Jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, dan B = { 1, 3, 7, 5 }, maka A – B = { 2, 4 }
Jika A = { 1, 2, 3 }, dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A – B = Ø

                                               




4.    Beda setangkup/symmetric difference
Beda setangkup dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.berikut adalah beda setangkup

Notasi: A B
Dirumuskan: A B = (AB)-(A∩B)



5.          Perkalian Kartesian
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B
Notasi: A x B
Contoh: A = {1,2} ; B = {a,b,c}
A x B = {(1,a),(1,b), …,(2,c)}

  1. Aljabar Himpunan
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan tersebut.

Hukum Asosiatif
 ( A È B )  È C    =    A È ( B È C )
 ( A  Ç B ) Ç C   =    A Ç ( B Ç C )
Hukum Komutatif
 A  È B  =   B  È A
 A  Ç B  =  B Ç A
Hukum Distributif
 A È ( B Ç C ) = ( A È B )  Ç (A È C )   
 A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È (A Ç C )   
Hukum Involusi
(A') '  =  A
Hukum Idempoten
A  È A  =   A
A  Ç A  =  A
Hukum Identitas
A  È Æ  =   A
A  Ç  S  =  A
Hukum Komplemen
A  È A' = S
A  Ç A'  =  Æ
Hukum de Morgan
( A È B ) ' =  A'  Ç B' 
( A  Ç B )' =  A' È B'

  1.  RELASI ANTAR HIMPUNAN
1.       Kesamaan Himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari himpunan B dan setiap anggota B merupakan anggota dari himpunan A atau AÌ B dan B Ì A bisanya ditulis dengan A = B dibaca (A himpunan bagian dari B).
Contoh :
a.       A= {1,2,3,4,5}dan B = {3, 4, 5, 2,1}, maka himpunan A = himpunan B atau A = B, maka {1 , 2, 3, 4, 5}= i3, 4, 5, 2, 1}, karena setiap anggota A juga menjadi anggota B dan setiap anggota B juga menjadi anggota A.
b.      Jika A = {0, 1} dan B = {x | x (x-1) = 0}, maka, A = B.
c.       Jika A  = {3, 5, 8, 5 }dan B = {5, 3, I}, maka A = B.
Catatan
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka 4 ≠ B.
Notasi : A = B ↔ A Í B dan B Í A.
2.       Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota dari B.
a.       A = { 1, 2, 3, 4, 5 }dan B = { 0, 5, 6, 7, 8 }, maka himpunan A dan himpunan B berpotongan, karena ada anggota A menjadi anggota B yakni 5.
b.      Diketahui D = { x | x2 + 3x + 2 = 0) dan E = { x | x2 - x - 6 = 0 }, karena nilai D = { -1 , -2 }dan E = { -2, 3 },  jadi ada anggota D menjadi anggota E yakni -2, maka D berpotongan dengan E.
Catatan
Dibeberapa buku himpunan yang berpotongan juga disebut himpunan bersekutu
3.      Himpunan Lepas
Dikatakan dua Himpunan A dan B lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebui tidak ada anggota keduanya sama, A dan B lepas biasanya ditulis (A || B)
Contoh:
a.       X = himpunan bilangan bulat positif dan Y = himpunan bilangan bulat negatif, karena anggota X tidak ada yang menjadi anggota di Y maka X dan Y dikatakan Lepas (X || Y)
b.      Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 }dan B = { 6, 7, 8, 9 }karena anggota A tidak ada yang menjadi anggota B, maka A lepas dengan B atau (A || B)
Catatan
Pada betapa buku himpunan yang lepas disebut himpunan disjoint dan dinotasikan dengan (A // B)