HIMPUNAN
Konsep himpunan pertama kali
dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman.
Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang
diperhatikan, na-mun th 1920-an menjadi landasan matematika. Kata lain dari
himpunan yaitu: set, gugus, kelompok, kumpulan.
A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek-objek (abstrak atau kon-kret)
yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya
harus jelas. Didefinisikan dengan jelas, berarti himpunan dapat
mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan anggota himpunan itu.
Contoh himpunan:
·
Kumpulan
hewan-hewan berkaki empat
·
Kumpulan
bilangan bulat antara 3 dan 8
·
Kumpulan
mahasiswa Universitas Muhammadiyah Jember
Contoh bukan Himpunan
·
Kumpulan
bunga bunga yang indah
·
Kumpulan
lukisan yang indah
·
Kumpulan
nama nama mahasiswi yang cantik
B. Notasi Himpunan
1) Nama himpunan ditulis sebagai huruf
capital
Contoh:A,H,D,B
2) Notasi himpunan ditulis sebagai kurung
kurawal {}
Contoh: A={1,2,3,4,5}
3) Objek yang dibicarakan dalam himpunan,
seperti: 1,2,3,4,5 disebut anggota (elemen, unsur) dan
ditulis di dalam kurung kurawal tersebut.
C. Keanggotaan Himpunan
Anggota
himpunan ditulis dengan huruf kecil dan dipisahkan dengan koma
Anggota
himpunan yang sama ditulis sekali
Contoh:
A={1,1,3,3,5} maka
di tulis A={1,3,5}
B={M,A,T,E,M,A,T,I,K,A} maka di tulis B={M,A,T,E,I,K,}
Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi “” jika suatu objek X
bukan suatu anggota suatu himpunan tertentu maka dinyatakan oleh notasi
“ “
Contoh:
A={0,1,2,}
Maka 0 A 1 A 2 A
D. Menyatakan Himpunan
a) Menggunakan symbol standar (baku)
Suatu
himpunan dapat dinyatakan dalam suatu symbol standart (baku) yang telah
diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiyah)
Contoh:
N=himpunan
bilangan alami (natural)
Z= himpunan bilangan bulat
Q= himpunan bilangan rasional
R= himpunan bilangan riil
C= himpunan bilangan kompleks
b) Cara tabulasi (rooster method,
pendaftaran), yaitu dengan menuliskan anggotanya satu per satu di dalam kurung
kurawal, seperti
contoh
berikut.
A : {merah, kuning, hijau}
H : {ayam, itik, bebek, angsa}
Anggota-anggota yang sama dianggap sebagai satu
anggota.
{6, 4, 7, 9, 6, 9, 2} = {2, 4, 6, 7, 9}
Himpunan B : {p, c, a, m, p, m, h} memiliki 5 anggota.
c) Dengan menyebut sifat atau syarat
keanggotaan himpunan aturan dalam Cara deskriptif (rule method, cara
aturan/metode pembentukan himpunan), yaitu dengan me-nuliskan aturan atau
perumusan tentang sifat keanggotaannya, penulisan syarat keanggotaan himpunan
Ø
Bagian
kiri tanda "|” melambangkan elemen himpunan
Ø
Tanda”|”
dibaca sebagai dimana atau sedemikan sehingga
Ø
Bagian
kanan tanda “|” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
Ø
Setiap
tanda “,” dibaca sebagai dan
Contoh:
B={x|x5,xZ}
(B adalah
himpunan dimana anggotanya lebih kecil dari 5 dan merupakan anggota himpunan
bilangan bulat)
seperti contoh
berikut.
M : {x|3 x 16, x bilangan genap}
H : {x |x nama-nama hewan berkaki dua}
P : {x|x bilangan prima kurang dari 15}.
E. Macam
macam Himpunan
1. Himpunan
kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki
anggota, padahal definisi himpunan mensyaratkan adanya objek(anggota). namun
demikian,himpunan kosong tetap disertakan dalam pembahasan himpunan.
Suatu himpunan H disebut himpunan kosong jika n(H)=0.
Notasi untuk himpunan kosong ø
atau {}.
Jika ditilik lebih lanjut eksitensi himpunan kosong
sebenarnya merupakan konsekuensi logika yang digunakan dalam matematika.
Himpunan kosong memiliki sifat-sifat yang
istimewayang ada karena konsekuensi logika sifat istimewa tersebut adalah
sebagai berikut:
1. Himpunan
kosong adalah subset sembarang himpunan.
2. Berkaitan
dengan sifat kelengkapan himpunan bilangan real,batas atas himpunan kosong
adalah seluruh bilangan real. Demikian pula dengan batas bawahnya.
3. Dalam
topologi, himpunan kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup
4. Contoh
himpunan kosong:
a. Himpunan
nama-nama hewan berkaki tiga
b. Himpunan
bilangan asli kurang dari satu
c. Himpunan
bilangan prima genap antara 10 dan 20
2. Himpunan
bagian
Jika ada Himpunan A dan B dimana setiap anggota A
merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B
atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A ⊆
B
jadi A ⊆ B jika dan hanya jika x ⇒ A ˂ x ˂ B
jadi A ⊆ B jika dan hanya jika x ⇒ A ˂ x ˂ B
Jika ada anggota dari A yang bukan
merupakan anggota B maka A bukan himpunan dari B, dilambangkan dengan A⊆ B
Contoh:
A = {1,3,5} dan B = {1,2,3,4,5,6,} maka A⊆B
3. Himpunan
Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah
himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.
Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S
Contoh:
Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut.
{2,3,5,7}
maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah S = {bilangan prima} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah}
{2,3,5,7}
maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah S = {bilangan prima} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah}
4. Himpunan
terhingga dan himpunan takhingga
Ø
Himpunan H disebut himpunan terhingga (finitif
set) jika n(H) = c, c bilangan cacah.
contoh himpunan terhingga
G : himpunan nama-nama hari dalam seminggu
N : {7,8,9,10,....,2015}
contoh himpunan terhingga
G : himpunan nama-nama hari dalam seminggu
N : {7,8,9,10,....,2015}
Ø
Himpunan D disebut himpunan tak hingga (infinite
set, transfinite set) jika n(D) = ~.
Berikut adalah contoh himpunan takhingga.
F : {2,3,4,5,....}
M : {x|2 ≤ x ˂ 4, x bilangan real}
Berikut adalah contoh himpunan takhingga.
F : {2,3,4,5,....}
M : {x|2 ≤ x ˂ 4, x bilangan real}
5. Himpunan
terbilang dan himpunan takterbilang
Himpunan terbilang yaitu himpunan dengan anggota yang dapat
ditunjukkan satu persatu, seperti berikut
P = {4,5,6,.....}
Q = {r,s,t,v,w,k,d,a}
R = {1,2,3,.....,138}
P = {4,5,6,.....}
Q = {r,s,t,v,w,k,d,a}
R = {1,2,3,.....,138}
Himpunan tak
terbilang yaitu himpunan yang anggotanya tidak dapat ditunjukkan satu persatu, seperti berikut
D = {x|0< x ≤ 7, x bilangan rasional}
F = {x|x ≤ 4, x bilangan real positif}
khusus untuk bilangan real, himpunan takhingga (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau selang, seperti berikut
D = {x|0< x ≤ 7, x bilangan rasional}
F = {x|x ≤ 4, x bilangan real positif}
khusus untuk bilangan real, himpunan takhingga (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau selang, seperti berikut
v
{x| 2 < x ≤ 7} = (2,7]
v
{x|2 ≤
x < 7} = [2,7)
v
{x| 2 < x < 7} = (2,7)
v
{x| 2 ≤
x ≤ 7} = [2,7]
6. Himpunan
terbatas dan himpunan takterbatas
Himpunan terbatas yaitu himpunan yang mempunyai
batas, seperti contoh berikut:
K = {4,1,3,8,6}
L = {0 < x ≤ 7, x bilangan asli}
B = {0 < x ≤ 7, x bilangan bulat}
himpunan terbatas biasanya. Batas sebelah kiri disebbut batas bawah, dan batas sebelah kanan disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi anggota himpunan. Pada himpunan terhingga yang ditulis secaratabulasi, anggota terkecil menjadi batas bawah, dan anggota terbesar menjadi batas atas.
K = {4,1,3,8,6}
L = {0 < x ≤ 7, x bilangan asli}
B = {0 < x ≤ 7, x bilangan bulat}
himpunan terbatas biasanya. Batas sebelah kiri disebbut batas bawah, dan batas sebelah kanan disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi anggota himpunan. Pada himpunan terhingga yang ditulis secaratabulasi, anggota terkecil menjadi batas bawah, dan anggota terbesar menjadi batas atas.
Himpunan tak terbatas (unbounded set) yaitu himpunan yang
tidak mempunyai batas disebelah kiri maupun kanan
Contoh:
R = { -~ < x ≤ +~, x bilangan real }
Contoh:
R = { -~ < x ≤ +~, x bilangan real }
- Operasi Himpunan
Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang
satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan,
operasi irisan, dan operasi selisih.
1. Operasi Gabungan (Union)
Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah
himpunan yang anggotanya merupakan anggota A
atau anggota B atau anggota
keduanya,berikut dalah gambar gabungan
didefinisikan sebagai berikut :
didefinisikan sebagai berikut :
A È B =
{ x | x Î A V x Î B }
Contoh :
A
= { 1,3,5,7,9 } , dan B = { 2,4,6,8,10 }
Maka
A È B = {
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
2. Operasi Irisan (Intersection)
Irisan (interseksi)
himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang
anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, berikut gambar suatu irisan
dapat didefinisikan sebagai berikut :
dapat didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x| x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda
ʌ artinya dan)
Contoh :
·
Jika A = { p,q,r,s } dan B{ r,s,t},
Maka
A ∩B = {r,s}
3. Operasi Selisih
Selisih
(difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,
adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jadi A
– B berbeda dengan B – A..berikut adalag gambar selisih
Dapat didefinisikan sebagai berikut :
Dapat didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }
Contoh
:
Jika A
= { a, b, c, d, e, f },dan B = { e, f, g , h }, maka A – B = { a, b, c, d }
Jika A
= { 1, 2, 3, 4, 5 }, dan B = { 1, 3, 7, 5 }, maka A – B = { 2, 4 }
Jika A
= { 1, 2, 3 }, dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A – B = Ø
4. Beda setangkup/symmetric difference
Beda setangkup dari himpunan A dan himpunan B adalah
himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.berikut adalah beda setangkup
Notasi: A ⊕ B
Dirumuskan: A ⊕ B = (A∪B)-(A∩B)
5.
Perkalian Kartesian
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah
himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan
komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B
Notasi: A x B
Contoh: A = {1,2} ; B =
{a,b,c}
A x B = {(1,a),(1,b),
…,(2,c)}
- Aljabar Himpunan
Himpunan di bawah operasi
gabungan, irisan dan komplemen memenuhi berbagai hukum aljabar. Tabel berikut
menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan tersebut.
Hukum Asosiatif
|
( A È B
) È C
= A È ( B È C )
|
(
A Ç B ) Ç C
= A Ç ( B Ç C )
|
Hukum Komutatif
|
A È
B =
B È A
|
A Ç
B =
B Ç A
|
Hukum Distributif
|
A È ( B Ç C )
= ( A È B
) Ç (A È C )
|
A Ç ( B È C )
= ( A Ç B ) È (A Ç C
)
|
Hukum Involusi
|
(A')
' =
A
|
|
Hukum Idempoten
|
A È
A =
A
|
A Ç
A =
A
|
Hukum Identitas
|
A È Æ = A
|
A Ç S
= A
|
Hukum Komplemen
|
A È A' =
S
|
A Ç
A' =
Æ
|
Hukum de Morgan
|
( A È B ) ' =
A' Ç
B'
|
( A Ç B )'
= A' È B'
|
- RELASI ANTAR HIMPUNAN
1.
Kesamaan Himpunan
Himpunan
A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A
merupakan anggota dari himpunan B dan setiap anggota B merupakan anggota dari
himpunan A atau AÌ B dan B Ì A bisanya ditulis dengan A = B dibaca (A himpunan
bagian dari B).
Contoh :
a.
A= {1,2,3,4,5}dan B = {3, 4, 5, 2,1}, maka himpunan A = himpunan B atau A = B,
maka {1 , 2, 3, 4, 5}= i3, 4, 5, 2, 1}, karena setiap anggota A juga menjadi
anggota B dan setiap anggota B juga menjadi anggota A.
b.
Jika A = {0, 1} dan B = {x | x (x-1) = 0}, maka, A =
B.
c.
Jika A = {3, 5, 8, 5 }dan B = {5, 3, I},
maka A = B.
Catatan
A = B
jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap
elemen B merupakan elemen A.
A = B
jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika
tidak demikian, maka 4 ≠ B.
Notasi
: A = B ↔ A Í B
dan B Í A.
2. Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika
dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota dari B.
a. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }dan B = { 0, 5, 6, 7, 8
}, maka himpunan A dan himpunan B berpotongan, karena ada anggota A menjadi
anggota B yakni 5.
b. Diketahui D = { x | x2
+ 3x + 2 = 0) dan E = { x | x2 - x - 6 = 0 }, karena nilai D = { -1 ,
-2 }dan E = { -2, 3 }, jadi ada anggota
D menjadi anggota E yakni -2, maka D berpotongan dengan E.
Catatan
Dibeberapa buku himpunan
yang berpotongan juga disebut himpunan bersekutu
3.
Himpunan
Lepas
Dikatakan dua Himpunan A dan B lepas jika dan
hanya jika kedua himpunan tersebui tidak ada anggota keduanya sama, A dan B
lepas biasanya ditulis (A || B)
Contoh:
a. X = himpunan bilangan bulat positif dan Y =
himpunan bilangan bulat negatif, karena anggota X tidak ada yang menjadi
anggota di Y maka X dan Y dikatakan Lepas (X || Y)
b. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 }dan B = { 6, 7, 8,
9 }karena anggota A tidak ada yang menjadi anggota B, maka A lepas dengan B
atau (A || B)
Catatan
Pada betapa buku himpunan yang lepas disebut himpunan
disjoint dan dinotasikan dengan (A // B)